В детстве мы задавали друг другу такие вопросы на школьной площадке. Кто-то говорил что-то наивное вроде “миллиард миллиардов”. Но его сразу опережал сверстник, который уже знал о триллионах, сквилионах или каджиллионах.
В конце концов кто-то озвучивал наиболее правильный ответ: “Бесконечность!” Но радость длилась недолго. Другой ребенок – с развитым математическим мышлением – догадывался: “Бесконечность плюс один”.
Какое же число наибольшее? Это проблема, над которой математики размышляют веками.
Они предположили существование чисел, столь огромных, что ни одному человеческому существу никогда не удавалось полностью запомнить их, не говоря уже о том, чтобы записать.
Что же до бесконечности, то оказывается, она не одна, их несколько. И как бы это парадоксально ни звучало, одни бесконечности больше других.
Нет числа, которое можно было бы назвать самым большим, поскольку натуральные числа бесконечны.
Однако это не означает, что все большие числа были придуманы, выражены, записаны или даже представлены компьютерами.
Выйдем за пределы чисел, которые используются в повседневной жизни.
В новостных заглавиях самые большие цифры (например, государственный долг) обычно выражаются в триллионах. Но есть иерархия постоянно увеличивающихся чисел, названия которых редко упоминаются. Начиная с квадриллионов, квинтиллионов, секстиллионов и так далее. В квадриллионе 15 нулей, в квинтиллионе – 18, а в секстиллионе – 21.
Некоторые числа настолько огромны, что их невозможно даже вообразить. Эти цифры – огромные.
В человеческом теле, например, около 30 триллионов клеток. Поэтому, чтобы получить квадриллион клеток, вам понадобится 34 человека.
На Земле примерно 10 квинтиллионов насекомых.
А башня из секстильонов людей будет высотой 180 тысяч световых лет — это больше, чем диаметр Млечного Пути.
Можно продлить до центильона, который имеет 303 нуля. На самом деле центильон может быть полезен только физикам и математикам, да и то только в специальных областях, таких как теория струн.
Если бы Илон Маск, к примеру, захотел стать центилионером, ему пришлось бы зарабатывать свое нынешнее состояние каждое миллисекунду в течение следующих 1,7 x 10^282 лет — получилось бы число, состоящее из 283 цифр.
Еще одно большое число – это гугол. Оно содержит единицу и сто нулей.
Число явилось источником вдохновения для известной поисковой системы. Основателям Google понравилось то, что оно выражает множество информации, найденной в сети. Со всем тем, пока интернет не столь велик: на сегодняшний день интернет-архив проиндексировал лишь 801 миллиард вебстраниц с 1990-х годов.
Дальше – больше. 10 в степени гугол называют гуголплексом.
Чтобы понять, насколько это большое число, я поговорил с математиком Джоэлом Дэвидом Гемкинсом из Университета Нотр-Дам в США.
Он объясняет, что гуголплекс – это единица, за которой следует гугол-множество нулей. Сколько времени нужно записать это? Вы не смогли бы это сделать за всю свою жизнь, даже если бы начали в детстве, когда впервые взяли в руки карандаш.
Чтобы понять, о каком количестве цифр идет речь, Гемкинс предлагает следующий эксперимент:
“Допустим, я дал вам сверхбыстрый принтер, который может печатать миллион цифр в секунду, – говорит он. – А теперь представьте, что он начал печатать в начале существования Вселенной, 13,8 миллиарда лет назад. Даже если стартовать тогда, вы все равно не приблизитесь к нужному числу, у вас будет только крохотная часть гуголплекса”.
Гемкинс также указывает на несколько загадочное: существуют большие числа (правда, меньше гуголплекса), которые нельзя свести к простому значению или одной величине, и поэтому они “находятся за пределами нашего понимания”. Их никогда не представляли и не выражали.
Хотя математики описывали числа даже больше гуголплекса. Самое известное из них – число Грэма.
В 1970-х годах математик Рональд Грэм использовал это число для математического доказательства так называемой теории Рэмзи, заключающейся в поиске закономерностей внутри хаоса.
Это действительно гигантское число, его создание требует подъема к действительно удивительному показателю.
А как же бесконечность?
Для обычного человека бесконечность кажется простым понятием – это не число, а нечто, продолжающееся вечно.
Однако способен ли человеческий разум по-настоящему это понять?
В 1700-х годах писатель и философ Эдмунд Берк писал, что “бесконечность имеет тенденцию наполнять разум тем трепетным страхом, что создает чувство возвышения”.
У Берка эта концепция вызвала смесь изумления и страха, удовольствия и боли одновременно. Люди сталкивались с ней разве что в воображении, и даже тогда они не могли по-настоящему понять и вообразить бесконечность.
Однако в следующем веке логик Георг Кантор взял концепцию бесконечности и сделал ее еще более потрясающей. Некоторые бесконечности, как он показал, больше других.
Как же это? Чтобы это понять, рассмотрим цифры как наборы. Если бы вы сравнили все натуральные числа (1, 2, 3, 4 и т.п.) в одном наборе и все четные числа в другом наборе, то в принципе каждое натуральное число можно было бы поставить в пару с соответствующим четным числом. Это сочетание предполагает, что два набора – оба бесконечных – имеют одинаковый размер.
Однако Кантор показал, что то же самое нельзя сделать с натуральными и действительными числами – 1, 2, 3, 4 (0,123, 0,1234, 0,12345 и т.п.).
Если вы попытаетесь соединить числа в каждом наборе, вы всегда сможете найти действительное число, не совпадающее с натуральным числом. Действительные числа – бесчисленно бесконечны. Так что должно быть несколько размеров бесконечности.
Это трудно принять, не говоря уже о том, чтобы представить, но именно это происходит с умом, когда он пытается овладеть математическими масштабами.
Спасибо!
Теперь редакторы в курсе.